Dazu einen neuen Graph beginnen und im großen Eingabefenster nach A(2,1); die Eingabe fortsetzen mit
Allein mit diesen Eingabefunktionen kann schon ein Streichholzgraph komplett eingegeben werden. Dann kann man in dieser Ergebniszeile die maximale und minimale Kantenlänge ablesen. Für den lautet das Ergebnis minimal 0.99973399850038091596, maximal 1.00000000000000066613.
Dann kann man versuchen, das Ergebnis zu verbessern, mittels der Buttons , neue Eingabe und . Danach lautet das Ergebnis minimal 0.99999999999999966693, maximal 1.00000000000000244249
Das Ergebnis ist besser, aber immer noch kein Beweis, dass die Kanten wirklich alle exakt 1 sind. Es ist aber ein deutlicher Hinweis darauf, dass die Suche nach einem richtigen Beweis Erfolg haben könnte. Bei diesem Graph geht das rechnerisch mit Button "acos(1/4)" mit dem Ergebnis minimal exakt 1, maximal exakt 1.
Weitere Funktionen siehe in kurze Beschreibung der Eingabefunktionen und wo sie im Thread verwendet wurden.
Das Abzählkriterium für ebene Fachwerke lautet n=a+s-2k.
Für 4-reguläre Graphen vereinfacht sich dieses Abzählkriterium wegen s-2k=0 zu n=a. Falls der Graph vereinzelt Knoten mit Knotengrad ungleich 4 enthält, braucht man nur die Abweichungen vom Knotengrad 4 zählen und die Hälfte davon geht in das Abzählkriterium ein als s-2k=Knotengradabweichungssumme/2, denn jede Kante, die man aus dem 4-regulären Graph entfernt oder dort hinzufügt, ändert die linke Seite s-2k um 1 und den Term Knotengradabweichungssumme/2 auf der rechten Seite ebenfalls um 1, weil die eine entfernte oder hinzugefügte Kante den Knotengrad von zwei Knoten um je 1 ändert.
Variable a setzt sich zusammen aus den obligatorischen drei Auflagerreaktionen, um den Graph als ganzes an der Bewegung zu hindern, ergänzt um zusätzliche Auflagerreaktionen, welche eventuell vorhandene bewegliche Teilgraphen fixieren, a = Beweglichkeit + 3. Wenn alle vorhandenen Bewegungsmöglichkeiten durch Auflager aufgefangen werden, ist n nur gleich oder größer als Null. Diesen Grad der Überbestimmtheit n deute ich als Anzahl der Kanten, welche beim Auflegen des Streichholzgraphen in einen passenden unveränderbaren Abstand eingesetzt werden müssen, im Thread Einsetzkanten genannt.
Insgesamt lautet dann das Abzählkriterium
Einsetzkanten=Beweglichkeit + 3 + Knotengradabweichungssumme/2und so wird diese Gleichung über jedem Graph angezeigt. Einige Beispiele sind
Einsetzkanten=Beweglichkeit+3 in weil 4-regulärer Graph,Einsetzkanten=Beweglichkeit+1 in weil 2 Knoten vom Grad 2.Aus dem Abzählkriterium geht nur hervor, wie groß die Differenz der Variablen Einsetzkanten und Beweglichkeit ist und nicht deren tatsächliche Werte. Diese zu bestimmen, das folgt im nächsten Abschnitt.
| Variante | Button | Programm | Eingabe der Punktkoordinaten | Berechnung | Ergebnis |
| 1 | "acos(1/4)" | GAP | exakt | exakt | exakt |
| 2 | "GAP" | GAP | 6 Nachkommastellen | exakt | nicht exakt wegen ungenauer Eingabedaten |
| 3 | "Einsetzkanten"+Checkbox "BigInt" | Browser | 6 Nachkommastellen | exakt | gleiches Ergebnis wie bei Button "GAP" |
| 4 | "Einsetzkanten"+Checkbox "gerundet" | Browser | 6 Nachkommastellen | gerundet | nicht exakt |
| 5 | "Einsetzkanten" | Browser | ca. 15 Nachkommastellen | gerundet | nicht exakt |
Variante 1 geht leider nicht bei jedem Graph, deshalb Variante 2. Variante 3 rechnet wie 2, etwas langsamer aber dafür im Browser. Variante 4 ist schneller als Variante 3 wegen gerundeter Berechnung. Variante 5 nimmt genauere Eingangsdaten im Vergleich zu Variante 4.
Damit auch beim Rechnen mit gerundeten Eingabedaten etwas brauchbares herauskommt, habe ich überall, wo im Rechenalgorithmus ein Vergleich x=0 auftritt, diesen ergänzt durch einen Vergleich |x|<ε. Wenn das erfüllt ist, wird der Rechenalgorithmus wie bei x=0 fortgesetzt. Der Wert für ε ist einstellbar unter Button "ausführlich", ebenso auf wieviel Nachkommastellen die Eingabe gerundet werden soll. Der eingestellte Wert ε=0.1 erscheint recht grob, hat sich aber in bisherigen Beispielen als ausreichend herausgestellt. Beispiel , Button "Einsetzkanten" mit Checkbox "BigInt" liefert für ε=0.1 das gewünschte Ergebnis 1 Einsetzkante und 1 Beweglichkeit, bei ε=0 nur 0 Einsetzkanten und 0 Beweglichkeit. Der Wechsel zwischen beiden Ergebnissen erfolgt irgendwo zwischen 0.0000001<ε<0.000001.
Zur Bedeutung der grafischen Programmausgabe siehe Beschreibung .
Zur Installation des GAP-Programms siehe und mehr im Abschnitt "weitere vorhergehende Programmversionen".
Der nächsten Abschnitt "Testtabelle für Einsetzkanten" enthält eine größere Menge Beispiele.
In der linken Spalte einen Graph auswählen (anklicken), dann Button "Einsetzkanten" drücken. In der zweiten Spalte "E B" steht, was herauskommen soll: E=Anzahl Einsetzkanten, B=Grad der Beweglichkeit. In den nächsten drei Spalten was herauskommt bei Button "acos(1/4)", "GAP", "Einsetzkanten". In der nächsten Spalte rechnet Button "Test" alle Zeilen auf einmal nach. Die restlichen Spalten sind noch ohne Bedeutung (das waren anfängliche Zwischenergebnisse zum Verbessern). Vorerst soll nur die Zahl der Einsetzkanten richtig herauskommen. Ein unmittelbar darauffolgendes "wenige N", "egal wie", "wenige Winkel" oder "viele Winkel" verwendet diese Einsetzkanten mit der Absicht, eine höhere Genauigkeit zu erzielen. Eintrag "-" bedeutet, Button ist für diesen Graph nicht verwendbar.
| E B | "acos(1/4)" | "GAP" | |||||||||
| 1 0 | 1 0 | 1 0 | 1 0 | 1 | ERROR | - | 1 | - | |||
| 2 1 | 2 1 | 2 1 | 2 1 | 1 | 1 | - | 1 | - | |||
| 3 0 | 3 0 | 3 0 | 3 0 | 1 | 1 | - | 1 | 1 | |||
| 4 1 | 4 1 | 4 1 | 4 1 | 1 | 1 | - | 1 | 1 | |||
| 1 2 | 1 2 | 1 2 | 1 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | - | |||
| 1 2 | 1 2 | 1 2 | 1 2 | 1 | 1 | 1 (grün) | 1 | - | |||
| 6 27 | - - | 6 27 | 6 27 | 1 | 1 | 1 (grün) | 1 | - | |||
| 1 1 | 1 1 | 1 1 | 1 1 | 1 | 1 | 1 (grün) | 1 | - | |||
| 0 1 | 0 1 | 0 1 | 0 1 | 1 | ERROR | ERROR | 1 | 1 | |||
| 1 2 | - - | 1 2 | 1 2 | 1 | ERROR | ERROR | 1 | 1 | |||
| 3 4 | - - | 3 4 | 3 4 | 1 | 1.0019 | P72-P82 fehlt | 1 | ERROR | |||
| 5 2 | 5 2 | 5 2 | 5 2 | ERROR | ERROR | 0.9998 | 1.001 | 1.0009 | |||
| 2 3 | 2 3 | 2 3 | 2 3 | 1 | ERROR | 1 | 1 | 1 | |||
| 5 2 | 5 2 | 5 2 | 5 2 | 1 | 1 | 1 | ERROR | ERROR | |||
| 1 2 | 1 2 | 1 2 | 1 2 | ||||||||
| 5 6 | 5 6 | 5 6 | 5 6 | ||||||||
| 4 1 | 4 1 | 4 1 | 4 1 | ||||||||
| 7 4 | 7 4 | 7 4 | 7 4 | ||||||||
| 10 0 | - - | 10 0 | |||||||||
| 2 1 | 2 1 | 2 1 | 2 1 | ||||||||
| 3 2 | - - | 3 2 | 3 2 | ||||||||
| 4 3 | 4 3 | 4 3 | 4 3 | ||||||||
| 4 1 | 4 1 | 4 1 | 4 1 | ||||||||
| 4 5 | 4 5 | 4 5 | 4 5 | ||||||||
| 4 1 | - - | 4 1 | 4 1 | ||||||||
| 6 0 | - - | 6 0 | 6 0 | ||||||||
| 4 1 | - - | 4 1 | 4 1 | ||||||||
| 6 1 | 6 1 | 6 1 | 6 1 | ||||||||
| 0 5 | 0 5 | 0 5 | |||||||||
| 1 0 | - - | 1 0 | 1 0 | ||||||||
| 3 1 | 3 1 | 3 1 | 3 1 | ||||||||
| 7 0 | 7 0 | 7 0 | 7 0 | ||||||||
| 6 0 | - - | 6 0 | 6 0 | ||||||||
| 1 1 | 1 1 | 1 1 | 1 1 | ||||||||
| 3 0 | - - | 3 0 | |||||||||
| E B | "acos(1/4)" | "GAP" |
Button "max bij" soll einen einfach beweglichen Graph daraufhin untersuchen, ob im Verlauf der Bewegung eine Stelle erreicht wird, an der sich die Bewegung verzweigen kann. Wähle als Ausgangspunkt einen der folgenden Graphen (anklicken): , , , , , . Dann der Reihe nach folgende Buttons anklicken: (oder einen anderen Button für neue Eingabe), , (und abwarten bis alle t gefunden), (hier abwarten, bis sich Ausgabe "t=..." nicht mehr verändert und am Ende ganz verschwindet). Als Ergebnis herauskommen soll , , , , , . Das sind die Stellen, wo Verzweigungen der Bewegung möglich sind. Anschließend Button "Verzweigungen" in der Zeile "Testfunktion" drücken, daneben werden dann verschiedene Verzweigungen aufgelistet als Buttons (0), (1), (2) und mehr soviele gefunden wurden. Dann einen von diesen anklicken und Buttons "beweglich?", "extrapolieren", "ausrichten", "Kanten" und Animation starten mit Knopf "Start_t" links neben dem Graph. Nach Betrachtung dieser Beispiele könnte man meinen, daß solche Verzweigungen der Bewegung nur dort auftreten, wo zwei Kanten exakt auf einer Linie liegen. Das ist oft, aber nicht immer der Fall. Zum Beispiel in Graph "#1902" beträgt der Winkel ∠(P6,P3,P1) exakt 180°. Nach Button "acos(1/4)" jedoch ist der Graph einfach beweglich, und das ist exakt gerechnet. Zweifache Beweglichkeit tritt knapp daneben auf, in Graph "#1902a", dort ist ∠(P6,P3,P1)=176.9°.
Die beiden Buttons "max bij" und "Verzweigungen" sind allerdings nur erste Versuche durch Probieren, ob in diesen Beispielen die Verzweigungen gefunden werden können. Da fehlt noch ein allgemein funktionierendes Verfahren.
ist Graph . Er hat jede Menge nicht passende Kanten. Sie lassen sich mit Button bis auf 5 verbleibende Kanten zurechtziehen. Genauer gesagt, 4 nicht passende Kanten und 1 Kante, die zusätzlich entfernt werden kann, so dass der Graph immer noch starr bleibt. Nun eine Verbesserung mit der oben beschriebenen Methode versuchen, reihum eine weitere Kante zu entfernen, um den Graph beweglich zu machen. Klicke auf Button und die Suche beginnt. Unter dem Graph werden fortlaufend die gefundenen Zwischenlösungen als Buttons "bisheriges Minimum=x.xxxx" aufgelistet. Die Beschriftung "x.xxxx" bezeichnet die maximale Abweichung von Kantenlänge 1. Die vierte Zwischenlösung mit der Beschriftung "bisheriges Minimum=0.0000" ist schon das gesuchte Ergebnis. Button und Button "0.0000" anklicken.
ist Graph Button (anklicken). Er hat drei nicht passende Kanten. Sie lassen sich mit Button nicht weiter zurechtziehen. Klicke diesmal auf Button , dann wird die Suche rekursiv für jede gefundene Zwischenlösung fortgesetzt. Irgendwann (kann Minuten, Stunden, Tage, Jahre dauern) wird die gesuchte Zwischenlösung "bisheriges Minimum=0.0000" ausgegeben (wenn es eine gibt und gefunden wird, konkret bei diesem Graph ist es die xx.-te Zwischenlösung). Dann wieder und Button "0.0000" anklicken. Das ist eine Lösung mit passenden Kanten.
Der Button "intern" zeigt die (nahezu unverändert) herauskopierte Beschreibung aus der betreffenden Programmversion, teilweise dann aber doch aktualisiert.
Anstelle Teilgraph kopieren geht jetzt auch Teilgraph drehen, also der ausgewählte Teilgraph selbst wird für die neue Verbindung verwendet und nicht eine Kopie davon. Demzufolge ist der Teilgraph anschließend nicht mehr am alten Platz. Die Eingabe erfolgt als Q(13,12,10,ab(11,5,[8,9],10,"gedreht"),D) oder mit Spiegeln als Q(13,12,10,ab(11,5,[8,9],10,"gedreht","gespiegelt"),D). Erster Nachteil: Es entsteht eine frei werdende Punktnummer. Diese wird mit als "nächster Punkt" unter dem großen Eingabefenster angezeigt und kann bei nachfolgender Eingabe mit verbraucht werden. Zweiter Nachteil: Der Teilgraph muss wie im nachfolgenden Beispiel mit einem Punkt schon an der endgültigen Position plaziert werden, so dass wirklich nur eine Drehung und keine Verschiebung erforderlich ist. Beispiel kommt jetzt mit zwei einzustellenden Winkeln aus statt vorher mit drei. Für eine grafische Darstellung siehe nach Buttons "#313-2a" und "Beschreibung" den Button "Q(243,96,92,ab(..."gedreht"))". Weiteres Beispiel mit nur einem Winkel statt vorher zwei.
Beitrag No. 640. laden. Drücke die Buttons "neue Eingabe, Rahmen zuerst" und "innere Punkte zufällig verschieben", dann "Feinjustieren(i)" (das i wird passend eingestellt). Wenn das Ergebnis nicht brauchbar ist, Button "zurück", sooft, bis ein passender Graph für neues "innere Punkte zufällig verschieben", "Feinjustieren(i)" erreicht ist. Weiter unten sind eine ganze Reihe Beispielgraphen aufgeführt, die ebenfalls für diese Prozedur geeignet sind.
weitere Beispiele zum Testen:| xlink:href="#blauerWinkel" | Element mit id="blauerWinkel" wird animiert, vor der id ein "#". |
| attributeName="value" | darin das Attribut "value" |
| values="0;6;0;-6;0" | von 0 nach 6, dann zurück über 0 nach -6, dann wieder 0 |
| dur="10" | Zeitdauer eines solchen Durchlaufes 10 Sekunden |
| additive="sum" | values wird zum Ausgangswert des Winkels hinzuaddiert |
| repeatCount="indefinite" | Durchlauf mit dur="10" wird unendlich oft wiederholt |
| begin="Start_blauerWinkel.click+0" | Start der Animation 0 Sekunden nach Klick auf Taste id="Start_blauerWinkel" |
| end="Stopp_alleWinkel.click+0" | Ende der Animation 0 Sekuden nach Klick auf Taste id="Stopp_alleWinkel" |
Bisher gab es nur Buttons zum Verschieben (die mit dem Doppelpfeil drauf).
Dazu kommen jetzt auch welche zum Ausrichten und Vergrößern/Verkleinern.
Bisher war die Wirkung eine geänderte Beobachterposition, die Punktkoordinaten haben sich dabei nicht geändert.
Jetzt ändert sich die Objektposition, der Graph wird verschoben, gedreht, vergrößert, verkleinert. Dabei ändern sich die Punktkoordinaten des Graphen.
Für Vergrößerung, Verkleinerung wird ein unveränderlicher (Zentral-)Punkt benötigt. Dieser wird so eingestellt: Bei gedrückten Shift+Ctrl-Tasten den Kursor von neben der Punktbezeichnung auf die Punktbezeichnung bewegen und dann Shift+Ctrl loslassen (ich schaffe das Anklicken eines SVG-Textes nicht). Beim Tablet nur Punktbezeichnung kurz antippen, ohne Shift+Ctrl.
Auch für Ausrichten wird ein unveränderlicher (Dreh-)Punkt benötigt. Dafür wird der erste der rechts von Button "Ausrichten" eingebenen Punkte Pj-Pk verwendet. Dann wird der Graph um Pj soweit gedreht, bis Pk genau horizontal rechts davon liegt. Für j und k konkrete Punktnummern einsetzen. Die Punkte Pj und Pk werden mit im xml gespeichert. Unmittelbar vor Button "Ausrichten" befindet sich eine Checkbox, mit der das Ausrichten dauerhaft eingeschaltet werden kann
Button "ausführlich…" listet diese Funktionen nochmal mit ausführlicher Anleitung auf. Dort wird der Zentralpunkt zum Vergrößern/Verkleinern in einem extra Eingabefeld festgelegt. Die oben beschriebene umständliche Eingabe mit der Maus war und ist dafür gedacht, wenn zusammenfallende Punktbezeichnungen nicht mehr erkennbar sind.
Das Ausrichten entlang Pj-Pk ist für unmittelbar anschließende Animationen wirksam, solange, bis in irgendeiner Form Button "neu zeichnen" ausgeführt wird. Beispiel: , "horizontal entlang P10-P28" einstellen und Button "Ausrichten" drücken. Dann Animation starten mit dem Knopf links von "Start_blauerWinkel". Nach "neu zeichnen" und nochmal Animation starten wird nicht mehr entlang P10-P28 ausgerichtet.
Button "D=50" stellt nach Vergrößern/Verkleinern wieder eine Einheitslänge D=50 her.
All diese Buttons sind nur für Eingaben geeignet, die mit P[1]=[...,...]; P[2]=[...,...]; D=ab(1,2); beginnen ("..." steht für konkrete Koordinatenangaben).
Werden diese Buttons bei gedrückter Shift- und/oder Ctrl-Taste angeklickt, verringert sich die Schrittweit, außer bei Ausrichten.
Beispiele: In Punkt P26 als Zentralpunkt auswählen (bei gedrückten Shift+Ctrl die Punktbezeichnung P26 anklicken) und dann paarmal Button "Vergrößern" bis P26 deutlich von P12 zu unterscheiden ist. In Punkt P29 als Zentralpunkt auswählen und dann vergrößern bis P29 deutlich von P20 zu unterscheiden ist.
sudo apt-get install gap
gap -L GAP_WORKSPACE) wesentlich schneller gestartet werden kann. Auf dem Raspberry Pi Zero W sind das nur noch 2 Sekunden statt vorher 45 Sekunden. Doch nicht starten, sondern
{..."command":"gap","args":"-L GAP_WORKSPACE"...} geht auch {..."command":"ssh","args":"localhost gap -L GAP_WORKSPACE"...} recht gut.node-red flow.json
Punkte 1 bis 3 müssen nur einmalig bei einem noch nicht vorbereiteten Raspberry Pi ausgeführt werden, Punkt 4 bei jedem neu Einschalten des Raspberry Pi und Punkt 5 wenn dieses Browserfenster komplett neu geladen wurde.
Dann kann die Berechnung losgehen. Ein Testbeispiel laden, Button "acos(1/4)" anklicken, dann darunter "über Websocket zu GAP schicken". Der Verlauf der Berechnung wird ausgegeben und wieviel Zeilen noch und schließlich das Ergebnis Beweglichkeit=4, Einsetzkanten=7. Dann kann man paar zusätzliche Kanten P3-P8, P4-P85, P70-P96, P64-P95 einsetzen und wieder Buttons "acos(1/4)" und "über Websocket zu GAP schicken".
Klick auf Button "Beschreibung" unter dem Graph rechts neben "Punkte aus/an" erzeugt eine knappe Beschreibung der einzelnen Eingabeschritte. Man kann die Eingabeschritte anklicken, dann wird der Graph auch nur soweit gezeichnet. Nochmal Button "Beschreibung" schaltet alles wieder aus. Beispiel laden, Button "Beschreibung" anklicken, dann darunter beispielsweise die Stelle "L(6,3,4)" anklicken.
Der Button "Beschreibung" kann zu einem Button "Beweis" umfunktioniert werden, indem an das Ende der Eingabe des Streichholzgraphen die Eingabefunktion W(); angefügt wird. Weil das ein extra Feature für die englischen Programmversion ist, verweise ich auf die dortige Beschreibung Button "description of function buttons" in der Zeile "show proof" der Button "click here".
Die Beispiele , und sind schon fertig gerechnet und das Ergebnis der Berechnung mit im großen Eingabefenster gespeichert. Nach dem Anklicken erscheint links neben dem Graph eine Kästchenreihe.
Das unterste hellgraue Kästchen ohne Rahmen schaltet beim Anklicken alle Belastungen und Beweglichkeiten aus, es werden lediglich im Graph verschiedene Loslager dargestellt, welche die im Graph vorhandenen Beweglichkeiten unterbinden. Die quadratischen Kästchen mit zwei Diagonalen "X", einer Diagonale "/" oder keiner Diagonale im Inneren symbolisieren wie in Beitrag No.251 unterschiedliche Bereiche der Einsetzkanten und der Beweglichkeit.
Jedes Loslager verhindert Bewegung senkrecht zur schraffierten Auflage, während Bewegung entlang der schraffierten Auflage weiterhin möglich ist. Die Loslager sind aber so angeordnet, dass insgesamt keine Bewegung mehr möglich ist. Um nun eine bestimmte Bewegung auszulösen, muss man die schraffierte Auflage eines Loslagers senkrecht zu sich selbst etwas verschieben (Drag geht, aber vorsichtig damit die schraffierte Auflage folgen kann, touchmove geht auch). Dann erscheinen Pfeile in der Richtung, in der die Bewegung der Knotenpunkte starten würde. Die weitere Fortsetzung muss aber nicht geradlinig sein. Zum Teil verschieben sich die anderen Loslager parallel zur schraffierten Auflage, was ja erlaubt ist.
Jedes Kästchen mit zwei Diagonalen "X" im Inneren steht für den Bereich einer Einsetzkante (linear abhängige Spalten der Matrix). Nach dem Anklicken des Kästchens werden bestimmte Kanten markiert und das soll bedeuten, wenn die in der Beschriftung des Kästchens angegebene Kante (beispielsweise infolge Temperaturänderung) in Längsrichtung zieht oder drückt, dann entstehen in allen markierten Kanten Belastungen, weil der Graph bereits ohne der einen Kante starr ist und die Längenänderung nicht ausgleichen kann. Die Markierung der Kanten ist ausführlich beschrieben in Abschnitt "Belastung ausrechnen, wenn zwei Knotenpunkte von Außen mit Kraft 1 zusammengedrückt werden"
Kästchen mit einer Diagonale "/" oder keiner Diagonale im Inneren stehen für unterschiedliche Bewegungsvarianten (linear abhängige Zeilen der Matrix). Beim Anklicken wird das mit der Beschriftung des Kästchens bezeichnete Loslager aus seiner ursprünglichen Lage gebracht und dadurch eine Bewegung ermöglicht. Wie schon beschrieben, geben dann die eingezeichneten Pfeile die Tangentialrichtung an, in der die Bewegung der Knotenpunkte starten würde. Die weitere Fortsetzung muss aber nicht geradlinig erfolgen und kann auch ganz unmöglich sein im Falle einer Bewegungsmöglichkeit mit Bewegungsspielraum 0 (falsche Beweglichkeit).
Die drei Kästchen mit einer Diagonale "/" im Inneren symbolisieren die 3 globalen Beweglichkeiten "kompletten Graph horizontal, verikal verschieben und um einen Punkt drehen". Allerdings werden diese Beweglichkeiten vom GAP-Programm nicht in dieser reinen Form zurückgegeben sondern durchmischt mit anderen inneren Bewegungsmöglichkeiten, so dass die Zuordnung der Kästchen mit einer oder keiner inneren Kante noch nicht stimmt. Man kann nur sagen, dass jegliche Bewegung als Linearkombination dieser Kästchen dargestellt werden kann. Da muss ich selber erst noch weiter probieren, ob sich das noch besser auseinanderhalten lässt. Sowas wäre bestimmt hilfreich, wenn in Graphen wie neben dem Grad der Beweglichkeit auch die zugehörigen Bewegungen gefunden werden sollen. Doch in dieser Beschreibung geht es erstmal nur darum, wie man über das GAP-Programm zu den Kästchen kommt.
In diesem Sinne also einen Graph auswählen, Button "acos(1/4)" drücken und dann die darunter aufgeführten Schritte 1. 2. 3. 4. und 5. ausführen, alle Buttons dort der Reihe nach anklicken. Die Aufteilung in diese 5 Schritte ist dafür gedacht,
Umfangreichere Beispiele mit vielen Beweglichkeiten sind , , , und . Schritt 3 dauert seine Zeit, aber es funktioniert.
Zum Ausprobieren obiger Beispiele ist Button "acos(1/4)" besser geeignet als Button "GAP", weil da das Ergebnis nicht durch Runden der Punktkoordinaten verfälscht wird. Auch sollen alle Kanten Länge 1 haben.
Einschränkung: Diese Berechnung funktioniert nur für Graphen, wo alle Kanten Länge 1 haben. Für andere Graphen stimmt das ausgegebene Ergebnis nicht. Während der Berechnung müsste die relative Belastung mit Kantenlänge multipliziert werden, doch da würde das Rechnen mit exakten Punktkoordinaten nicht mehr funktionieren. Deshalb diese Berechnung nur bei "alle Kanten gleich (oder fast gleich) 1" verwenden.
weitere Einschränkung: Der Graph muss starr sein. Mit dem Ergebnis für einem beweglichen Graph kann ich nichts anfangen.
Jetzt aber los, beispielsweise den laden, dann entweder Button "GAP" oder, wenn mit exakten Punktkoordinaten gerechnet werden soll, Button "acos(1/4)". Anschließend alle Buttons aus Zeilen "1." "2." und "3." der Reihe nach durchlaufen lassen. Zeilen "4." und "5." und "6." überspringen. In Zeile
anstelle P5 und P22 zwei Punkte eingeben, welche von außen mit Kraft 1 zusammengedrückt werden sollen. Beim Doppelkite sind das die bereits vorgegebenen P5 und P22. Dann Button "zusammendrücken", das erzeugt darunter den benötigten Programmcode, schließlich Button "über Websocket ausrechnen".
Es wird diejenige Lösung x von Ax=f gesucht, welche orthogonal zu den Basisvektoren der Lösung des homogenen Gleichungssystems Ax=0 ist.
Das Ergebnis wird im Streichholzgraph als zusätzliche Markierung der Kanten dargestellt. Momentan ist diese Markierung ein kurzes Geradenstück durch den Kantenmittelpunkt mit Anstieg=tan(Anstiegswinkel)=Belastung, Anstiegswinkel gemessen bezüglich der betreffenden Kante. Das bedeutet, dieses Geradenstück ist bei Belastung 0 in Kantenrichtung ausgerichtet, bei Belastung 1 im 45° Winkel entgegen Uhrzeigersinn gedreht, bei Belastung -1 im 45° Winkel im Uhrzeigersinn gedreht. Man kann sich so über das Verhältnis von lokaler y-Koordinatendifferenz (senkrecht zur Kante) zur lokalen x-Koordinatendifferenz (in Kantenrichtung) eine ungefähre Vorstellung von der Belastung im Verhältnis zur einwirkenden Kraft machen.
Zusätzlich wird die Belastung einer Kante rechts oben über dem Graph als Text ausgegeben, wenn man diese Kante im Mittelkreis anklickt.
Wenn kein Websocket installiert oder verfügbar ist, dann geht auch wieder direktes Kopieren des Programmcodes ins GAP-Programm. Nach Ende dieses Programmlaufes muss die Programmausgabe von einschließlich "Belastung=" bis einschließlich nächsten ";" zurückkopiert werden und zwar ins große Eingabefenster an das Ende des Inhaltes vom xml-Element "Rechenweg". Das muss vor weiteren Änderungen am Streichholzgraph wieder entfernt werden, sonst bleibt das als nicht mehr passendes Ergebnis stehen. Nachfolgend das Ergebnis für den Doppelkite, zuerst mit Button "GAP" gerechnet
Belastung=[ //mit zugehöriger Kante [Pi,Pj] 0.2345753422868451 , //[ 1, 9 ] -0.1853533589247109 , //[ 1, 10 ] -0.08286029350589673 , //[ 1, 2 ] -0.1604429244040901 , //[ 1, 3 ] 5.773429410842156e-07 , //[ 2, 3 ] -5.773428498137839e-07 , //[ 3, 4 ] -5.232833172714121e-07 , //[ 2, 4 ] -0.955992154069999 , //[ 4, 5 ] -0.08285974319295589 , //[ 2, 5 ] -0.1604423470609879 , //[ 3, 6 ] -0.9559921270401202 , //[ 4, 6 ] -0.1656159595568891 , //[ 6, 7 ] 0.07818072800495994 , //[ 7, 8 ] 0.23457539469158 , //[ 7, 9 ] 1.364701348312288e-07 , //[ 8, 9 ] -4.66026367920496e-08 , //[ 8, 10 ] 2.41279443618548e-07 , //[ 9, 10 ] 0.07818081954136906 , //[ 8, 11 ] -0.1853532149837968 , //[ 10, 11 ] -0.185353139857226 , //[ 11, 14 ] 0.07818101542752222 , //[ 11, 16 ] 0.3255128165134697 , //[ 7, 12 ] -0.9527946440290526 , //[ 6, 12 ] 0.3255131500148069 , //[ 12, 17 ] -0.9527946567230119 , //[ 12, 18 ] -0.1604429306362785 , //[ 13, 20 ] -0.08286029975224565 , //[ 13, 21 ] -0.1853532584305748 , //[ 13, 14 ] 0.234575276187184 , //[ 13, 15 ] 2.154592076616288e-07 , //[ 14, 15 ] -2.168773390771696e-08 , //[ 14, 16 ] -6.059540193138378e-08 , //[ 15, 16 ] 0.2345754142146061 , //[ 15, 17 ] 0.07818103488137389 , //[ 16, 17 ] -0.165616045827954 , //[ 17, 18 ] -0.9559917792960873 , //[ 18, 19 ] -0.1604429343407991 , //[ 18, 20 ] -3.857016866479042e-08 , //[ 19, 20 ] 1.122400785217636e-07 , //[ 19, 21 ] -4.59792522852393e-08 , //[ 20, 21 ] -0.9559918547011231 , //[ 19, 22 ] -0.08286036206375229 , //[ 21, 22 ] ];
und dann nochmal mit Button "acos(1/4)", da sind die Nullstäbe wirklich exakt Null.
Belastung=[ //mit zugehöriger Kante [Pi,Pj] 0.2345757022865009 , //[ 1, 9 ] -0.1853534807267214 , //[ 1, 10 ] -0.08286036443668232 , //[ 1, 2 ] -0.1604432187339964 , //[ 1, 3 ] 0 , //[ 2, 3 ] 0 , //[ 3, 4 ] 0 , //[ 2, 4 ] -0.9559918047079874 , //[ 4, 5 ] -0.08286036443668232 , //[ 2, 5 ] -0.1604432187339964 , //[ 3, 6 ] -0.9559918047079874 , //[ 4, 6 ] -0.165616423549924 , //[ 6, 7 ] 0.07818115672298467 , //[ 7, 8 ] 0.2345757022865009 , //[ 7, 9 ] 0 , //[ 8, 9 ] 0 , //[ 8, 10 ] 0 , //[ 9, 10 ] 0.07818115672298467 , //[ 8, 11 ] -0.1853534807267214 , //[ 10, 11 ] -0.1853534807267214 , //[ 11, 14 ] 0.07818115672298467 , //[ 11, 16 ] 0.32551349251997 , //[ 7, 12 ] -0.9527945883009796 , //[ 6, 12 ] 0.32551349251997 , //[ 12, 17 ] -0.9527945883009796 , //[ 12, 18 ] -0.1604432187339964 , //[ 13, 20 ] -0.08286036443668232 , //[ 13, 21 ] -0.1853534807267214 , //[ 13, 14 ] 0.2345757022865009 , //[ 13, 15 ] 0 , //[ 14, 15 ] 0 , //[ 14, 16 ] 0 , //[ 15, 16 ] 0.2345757022865009 , //[ 15, 17 ] 0.07818115672298467 , //[ 16, 17 ] -0.165616423549924 , //[ 17, 18 ] -0.9559918047079874 , //[ 18, 19 ] -0.1604432187339964 , //[ 18, 20 ] 0 , //[ 19, 20 ] 0 , //[ 19, 21 ] 0 , //[ 20, 21 ] -0.9559918047079874 , //[ 19, 22 ] -0.08286036443668232 , //[ 21, 22 ] ];
Weitere geeignete Beispiele (Kopie aus der englischen Programmversion). Weil das alles eine komplizierte Eingabe ist, noch paar fertig gerechnete Beispiele: gerechnet mit exakten Punktkoordinaten, gerechnet mit gerundeten Punktkoordinaten, mit gerundeten Punktkordinaten, exakt (Maximallast 2,8 in Mittelkante P18-P40) und gerundet (Maximallast 39 in Kante P12-P7).
Jeder Graph hat die drei Freiheitsgrade Verschiebung horizontal, Verschiebung vertikal sowie Drehung um einen Punkt. Jede andere Verschiebung und Drehung lässt sich als Linearkombination dieser drei Bewegungen darstellen. Diese sollen außer acht gelassen werden, wenn von der Beweglichkeit eines Graphen die Rede ist. Ein starrer Graph hat keine weiteren Freiheitsgrade und Beweglichkeiten. In der Programmausgabe der Anzahl der Freiheitsgrade ist das als 3+x kenntlich gemacht.
Wird an einen starren Graph an einen Punkt P4 über eine neue Kante ein Punkt P6 angefügt und an diesen über eine weitere neue Kante ein Punkt P7, so hat dieser Punkt P7 zwei Freiheitsgrade und der Punkt ist auch frei beweglich, jede Bewegungsrichtung lässt sich als Linearkombination der Änderung der Kantenwinkel darstellen. Das hatte ich bisher im Thread als zweifache Beweglichkeit des Graphen bezeichnet.
Bei weiteren mehr oder wenig unabhängig voneinander beweglichen Punkten ergibt das dann drei-, vier-, fünffache Beweglichkeit und mehr. Ideale Beispiele hiefür sind die Graphen , da können alle Winkel unabhängig voneinander beliebig verstellt werden. Ein ähnliches Beispiel ist ein mehrachsiger Roboterarm, dieser ist entsprechend mehrfach beweglich und jede Achse kann unabhängig von den anderen verstellt werden.
Wenn die Bewegung des Punktes P7 durch zusätzliche Kanten wieder auf eine eindimensionale Linie eingeschränkt wird, dann hat dieser Punkt nur noch einen Freiheitsgrad. Im Thread ist das bei etlichen Graphen als einfache Beweglichkeit bezeichnet. Das GAP-Programm liefert als Ergebnis diesen einen Freiheitsgrad sowie die Tangentialrichtung der Bewegung entlang der Linie.
Nun ist der Fall denkbar, dass sich zwei veschiedene Bewegungslinien eines Punktes überkreuzen und der Punkt dort von der einen Bewegungslinie in die andere wechseln kann. Genau an der Kreuzungsstelle hat der Punkt wieder zwei Freiheitsgrade. Doch der Punkt wäre nur in Richtung der Bewegungslinien beweglich und nicht in beliebiger Linearkombination dieser beiden Richtungen. Das lässt sich noch erweitern, wenn sich in einem Punkt drei Bewegungslinien kreuzen, dann kann dort der gesamte Graph drei Freiheitsgrade haben, aber nicht beliebige sondern nur drei ganz bestimmte Linearkombinationen sind möglich. So etwas bezeichne ich jetzt als "drei Bewegungsmöglichkeiten" im Unterschied zum bisher verwendeten "dreifache Beweglichkeit" für beliebige Linearkombinationen dreier Freiheitsgrade. Das ist leicht zu verwechseln, die Bezeichnung "n-fach beweglich" hatte ich in Unkenntnis anfangs ungünstig gewählt und was besseres fällt mir auch nicht ein.
Jetzt zum Graph . Da ist dieser Fall aufgetreten. Die Ausgangsstellung in Beitrag No.814 hat 3 Freiheitsgrade, aber nicht dreifache Beweglichkeit (beliebige Linearkombinationen dreier Grundbewegungen) sondern vier Bewegungsmöglichkeiten (vier sich überschneidende Bewegungslinien). Drei Bewegungslinien sind schon im Thread beschrieben, die vierte ist die gespiegelte Version der einen unsymmetrischen Variante.
Solange daran nichts auszusetzen ist, ergibt sich folgender Ablauf: Das GAP-Programm liefert eine bestimmte Anzahl Freiheitsgrade sowie dazugehörige Grundbewegungen. Dann muss man feststellen, welche Linearkombinationen dieser Grundbewegungen tatsächliche Bewegungsmöglichkeiten ergeben. Entweder alle, dann ist der Graph n-fach beweglich, oder es gibt nur ganz bestimmte einzelne Bewegungsmöglichkeiten oder keine oder von jeder Variante etwas.
Zu diesem Ablauf passt dann auch diese ("falsche") Beweglichkeit. Das GAP-Programm erkennt in der statisch nicht bestimmten Anordnung einen Freiheitsgrad, die anschließende Untersuchung der einzigen Linearkombination ergibt aber "keine Bewegungsmöglichkeit".
Bei Button "acos(1/4)" wird "MaxInvAij" mit berechnet, aber nicht als Ergebnis ausgegeben, weil auch bei eventuell recht großem "MaxInvAij" keine Kante entfernt werden muss, denn die Freiheitsgrade und die Einsetzkanten stimmen schon exakt.
Die Buttons "GAP" und "acos(1/4)" liefern nicht in jedem Detail übereinstimmende Ergebnisse, weil die Loslager unterschiedlich angeordnet und orientiert sein können.
Ein auf Punkt \( \displaystyle P_i \) einwirkender Kraftvektor \( \displaystyle \overrightarrow { F_i } \) zerlegt sich entlang der von \( \displaystyle P_i \) ausgehenden Kanten in Teilkräfte \( \displaystyle \overrightarrow { F_{i j} } \) auf:
\( \displaystyle \overrightarrow { F_i } = \sum^{n}_{j=1} \left( \overrightarrow { F_{i j} } \right) = \sum^{n}_{j=1} \left( \left| \overrightarrow { F_{i j} } \right| \frac { \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } } { \left| \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } \right| } \right) = \sum^{n}_{j=1} \left( \frac { \left| \overrightarrow { F_{i j} } \right| } { \left| \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } \right| } ( \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } ) \right) = \sum^{n}_{j=1} \left( f_{i j} ( \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } ) \right) \) mit \( \displaystyle f_{i j} = \frac { \left| \overrightarrow { F_{i j} } \right| } { \left| \overrightarrow { r_j } - \overrightarrow { r_i } \right| } \) .
Weiter dann in Beitrag No.251.
Wie ein .dxf-File eingelesen werden kann.
Kaleidoskop Beitrag No.1829
Die Eingabefunktion RK([k,l1,l2,l3...],[i,j1,j2,j3...],w) erzeugt in einem einzigen Schritt mehrere Eingaben RW(k,l1,i,j1,w), RW(k,l1,i,j2,w),RW(k,l1,i,j3,w)... sowie RW(k,l1,i,j1,w), RW(k,l2,i,j1,w), RW(k,l3,i,j1,w)... als Bedingungen für anschließende Anwendung von Button "Feinjustieren(.)". Im Ergebnis sollen dann alle Punkte [k,l1,l2,l3...] auf einer (Halb-)Geraden liegen und alle Punkte [i,j1,j2,j3...] auf einer zweiten (Halb-)Geraden und diese schließen einen Winkel w°=360/(2n) ein, gemessen entgegen Uhrzeigersinn von der zweiten zur ersten (Halb-)Gerade.
Anschließend kann mit Button "Kaleidoskop" der Graph geschlossen werden wie bei einem Kaleidoskop, welches mit seinen Spiegelflächen an den beiden Geraden angelegt wird.
Eine Besonderheit bei der Eingabe: Die Punktnummern i,j,k,l... können auch mit Vorzeichen Minus eingegeben werden. Das bedeutet, der betreffende Punkt soll nicht auf der späteren (Halb-)Gerade liegen sondern im Inneren des Winkels w° im Abstand einer halben Kantenlänge von dieser Gerade entfernt.
Die Punkte i und k sollen jeweils die äußeren Punkte in dem späteren Graph sein, die Reihenfolge der anderen Punkte ist beliebig, wobei nicht unbedingt alle Varianten funktionieren.
Die Checkbox vor Button "Kaleidoskop" aktiviert diesen Funktion dauerhaft, ebenso ein viertes Argument true in RK([k,l1,l2,l3...],[i,j1,j2,j3...],w,true)
verschiedene Eingabebeispiele (Beispiel wählen, dann unter dem Graph Button "Feinjustieren(.)" drücken und dann Button "Kaleidoskop"): (bei Fig.4a gleich "Kaleidoskop" drücken)
bis t=- ,
,
neu: